t検定のわかりやすい解説。なぜ自由度が関係するのか？t値の計算の意味は？

t検定は、母分散未知の場合の母平均の検定のことです。

実務でもよく使われます。

母分散既知の場合の母平均の検定

t検定（母分散未知の場合の母平均の検定）を理解するには、まずは「母分散既知の場合の母平均の検定」を理解する必要があります。

以下の記事で「母分散既知の場合の母平均の検定」について詳しく解説していますので、先に読むことをおすすめします！

簡単におさらいしておきましょう。

ここでの帰無仮説は、「これらのデータ（標本平均の計算に使った実際のデータ）は、この母集団（平均$\boldsymbol{μ}$、分散$\boldsymbol{σ^2}$の正規分布）からとってきたデータである」です。

帰無仮説が正しいと仮定したときの母集団は、平均$μ$、分散$σ^2$の正規分布になりますね。

平均を議論するので、まずは、平均が従う分布を考えます。

平均$μ$、分散$σ^2$の正規母集団から、$n$個とってきた標本の平均が従う分布は、平均$μ$、分散$\frac{\sigma^2}{n}$の正規分布ですよね。

帰無仮説が正しいなら、実際の標本平均はこの分布に従うはずです。

帰無仮説が正しいと仮定した時に、実際の標本平均以上に極端な観測値がどのくらいの確率で発生しうるのか（これを$p$値と言います）、これが知りたいので、この分布を標準化して標準正規分布にして考えます。

標準正規分布に変換すれば、標準正規分布表を使って、発生確率がわかりますもんね。

さて、母分散既知の場合は、このように、標本平均が従う分布を標準正規分布に変換して$p$値を算出する、ということをやりましたが、この記事で扱うのは母分散がわかっていない場合です。

母分散が未知ということは、この式の中の$\boldsymbol{σ^2}$の部分がわかっていない状況でどうやって$\boldsymbol{p}$値を計算するのか？というところがポイントになりますね。

母分散未知の場合どうする？

母分散が既知の場合に標本平均が従う分布は、平均$μ$、分散$σ^2$の正規分布で、これを標準化するために、この式を使いましたね。

母分散未知の場合も同じように標準化したいのですが、母分散が分からない状態なので困ってしまいますよね。

不偏分散を記号で表す際には、様々な表記がありますが、ここでは記号$U$を用いることにします。

母分散の代わりに不偏分散を使うとこの式はこうなります。

ところがここで問題があります。

$σ^2$は母分散なので、ある決まったひとつの値です。

だから、母分散既知の場合の標準化の式（$z$スコアの計算式）における確率変数は、標本平均だけでした。

しかし、今回は、$σ^2$を不偏分散$U$に置き換えたわけですが、不偏分散は標本で計算した値なので確率変数なんです。

つまり、分母にも分子にも確率変数があるということです。

「正規分布÷カイ二乗分布の平方根」は、いったいどんな分布になるのでしょうか？

これを研究して、その分布を発見したのが、ウィリアム・ゴセットさんという方で、その分布がt分布なんです。 この式の計算結果がt分布に従うため、この計算によって得られる値には、t値という名前がついています。

t分布

t分布はこのような形状をしています。正規分布と似ていますね。

正規分布と似てはいるのですが、実は正規分布よりも裾引きが多くなっているんです。

分母にあるのがある決まった値である母分散ではなくて、確率変数である不偏分散なので、正規分布よりも裾引きが多くなるのは、感覚的に理解できますよね。

不偏分散は、それを計算するデータの数$n$が多いほど、その計算結果の確からしさは高くなりますよね。

だから、$n$が大きくなるほど、この裾引きは少なくなっていくんです。

そして、$n$が無限大になると、標準正規分布と一致します。

t分布は、このように標本平均を計算するデータ数が変わると分布の形状が変わる性質があります。

分母に不偏分散を使用しているから、t分布を使う必要があるわけなので、t分布の形状は不偏分散の分母にある自由度に依存するんです。

t分布は、このように示されます。カッコ内は自由度です。

t分布の中心は0なので、分布の裾の広がり方さえわかればt分布の形状が決まります。

分布の裾の広がり方は自由度に依存するので、t分布の形状は、自由度が決まれば決まる、ということですね。

正規分布は、平均（中心）と分散（裾の広がり方）がわかれば決まりましたが、t分布は中心は0なので、裾の広がり方だけで決まる（つまり、自由度が決まれば決まる）ということです。

t分布の性質は理解できましたでしょうか？

これがわかれば、あとは、母分散既知の場合の検定の進め方と同じです。

違うのは、$p$値の計算に、標準正規分布を使うのかt分布を使うのか？です。

t検定

実際にやってみましょう。

状況としては、母分散既知の場合の解説に用いた例題と同じで「母分散が不明である」というところのみ異なることにしましょう。

帰無仮説が正しいと仮定したときの標本平均が従う分布は、平均は元の分布と同じ、分散は元の分布の分散÷4になりますよね。

母分散既知の場合は、標本平均が従う分布における98が、標準正規分布ではいくつに相当するかを求め、そして、標準正規分布表を読み取って$p$値を求めればよいですよね。

母分散未知の場合は、母分散のかわりに不偏分散を使うので、変換後の分布は標準正規分布ではなくt値になるのでしたね。

今回は、4つのデータで不偏分散を計算するので、t分布の自由度は3です。

不偏分散の計算結果は、今回は4（母分散と同じ）だったとすると、実際のデータで計算したt値は－2になりますね。

今回は、簡単のために、標本で計算した不偏分散が母分散と同じだったと仮定しているので、当然ですが、同じ計算結果になっています。

次は、母分散既知の場合と同じように、 t値が自由度3のt分布上ではどこにあるのかをチェックして、その観測結果およびそれ以上にレアなことが起こる確率$p$値を求めます。

母分散既知の場合の母平均の検定では、標準正規分布表を使いましたが、今回は、t分布表を使います。

t分布では、『自由度』がからんでくるので、標準正規分布表とは、読み方がちょっと異なります。

t分布表の一番左縦の列は『自由度』です。一番上の行は確率です。

自由度3で確率が0.05の時のt値は、縦軸：3、横軸：0.05がクロスする箇所を読み取ります。

これは、自由度3のt分布では、-2.353以下の発生確率が0.05ということです。

言い換えるとt値が－2.353の時の$p$値が0.05ということですね。

そうなんです。

t分布は自由度もからむため、自由度×t値で$p$値を記載しようとすると情報量が莫大になってしまうため、このような書き方をされているんでしょうね。

しかし、よく考えてみると、これで十分事足りるんです。

ということは、帰無仮説の矛盾を主張できないので、帰無仮説を受容する（つまり、100gよりも少なくなったとは主張できない）ということになりますね。

不偏分散の計算に使用するデータ数を増やせば、不偏分散の計算結果は、母分散から大きく外れる可能性が低くなるので、t分布の裾引きは小さくなります。

帰無仮説の母平均と実際のデータで計算した平均に差がある場合、データ数を増やせば、その差を検出しやすくなるということですね。

このことは、t分布表で自由度が増えるほど、特定の$p$値となる時の  t値が小さくなっていることからもわかると思います。

注意点

ここで、t分布表から読み取れるのは、ある自由度のt分布において、$\boldsymbol{p}$値がある値になる時のt値ですよね。

$p$値がある値になる時のt値は、片側検定か両側検定かで変わります。

「ある値よりも大きいかどうか」や「ある値よりも小さいかどうか」を議論する場合には片側検定をすることになりますので、片方の裾の部分の面積が議論の的ですよね。

「ある値かどうか」を議論する場合には両側検定をすることになりますので、両方のの裾の部分の面積が議論の的ですよね。

だから通常t分布表には、このように「この表に書いてある数字はどこの部分の面積を指しているのか？」を示す図、または、片側検定なのか両側検定なのかという説明書きがついています。

ここで、もし、片側検定をしたい時に、両側検定のt分布表しかなかったら、どうしましょうか？

大丈夫です！t分布は左右対称なので！

片側検定で$p$値が0.05になる時のt値は、両側検定で$p$値が0.1になる時のt値と同じになります。

同じt分布表という名前がついていても、記載してあるt値は、片側の場合のものだったり、両側検定の場合のものだったりしますので、t分布表を読み取る時には、t分布表に書いてあるのが、片側検定の時のt値なのか、両側検定の時のt値なのかを必ずチェックするようにしてくださいね。

t検定の種類

今回解説したのは、1標本t検定と呼ばれる手法ですが、t検定には主にここに示したような種類があります。

どれも、検定の手順は1標本t検定と同じで、何と何を比較するのか？というところが違います。

それによって「母分散を不偏分散に置き換える」のところのやり方、つまり、どうやって不偏分散を計算するのか？自由度は何になるのか？というところが若干異なるのですが、考え方が理解できれば、どれも難しいものではありません。

その他のt検定についても、追って別記事で解説します。

まとめ

母平均の検定をする際に、母分散が既知の場合と母分散が未知の場合で異なるのは、変換後の分布での確率変数の値を計算するための式の分母に、ある決まった値である母分散を使うか、確率変数である不偏分散を使うかです。

分母に不偏分散を使った場合の計算結果（t値）が従う分布は、標準正規分布ではなく、t分布です。

母分散が既知の場合と未知の場合で、検定に使用する統計量と分布が異なるだけで、検定の進め方や考え方は同じです。

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