対応のない2標本 t 検定を理屈で理解する｜Welch と Student の違いと検定統計量の成り立ち

2つのグループの平均に差があるのか？を判断したい場面は、データ分析でよくあります。

施策の効果検証や設備間の特性値の比較など、実務でも頻繁に登場します。

そんなときに使うのが「対応のない2標本t検定」なのですが、計算式が複雑で意味がつかみにくいという点で躓きがちです。

「StudentとWelchのどちらを使うんだっけ？」「t値の計算式ってどうだっけ？」「$n$で割るんだったっけ？$n$-1で割るんだったっけ？」などなど…

式を丸暗記しようとするとこうなってしまうのですが、「なぜこの式になるのか」「StudentとWelchにはどういう前提の違いがあるのか」を理解すれば、驚くほどスッキリ整理できます。

「平均」や「分散」などの基礎的な統計知識がある読者を対象にしており、必要に応じて関連記事を参照しながら読み進めることで、初学者でも専門的すぎない範囲で理屈をしっかり理解できます。

この記事を読むと次のことがわかります。

• 2標本t検定とは何か
• StudentとWelchの前提の違いと使い分け
• t値の計算式の成り立ち
• 2標本t検定の一連の流れ

統計検定・QC検定・データ分析の実務にも役立つ内容です。

標本とは？

統計学における『標本』とは、母集団の分布を推測するために選ばれた一部の集団のことです。

2標本t検定とは、その名のとおり、2つの標本を使って検定する手法なので、その背後には、2つの母集団が存在しているんですね。

この2つの母集団の母平均に差があるどうかを検定するのが、2標本t検定です。

2標本t検定の説明をする前に、1標本t検定について簡単におさらいしておきましょう。

1標本t検定

1標本t検定は、標本平均がある特定の値 $μ$と等しいかどうかを調べる手法です。

よって、帰無仮説は「母平均は$μ$である」になりますね。

t検定は、母分散未知の場合の母平均の検定であり、母分散が未知なので、$σ^2$の部分を標本データから計算した不偏分散に置き換えてt値を求め、t分布を読み取ります。

$σ^2$を不偏分散に置き換えた統計値が従う分布は、標準正規分布ではなくt分布になります。

t値を計算し、t分布表を使って、$p$値の大小をチェックして、帰無仮説を受容するのか棄却するのかを判断するのが1標本t検定です。

2標本t検定

2標本t検定は、2つの標本データを使うので、その背景にある2つの母集団の分布の比較を行います。

$x_A$が従う、平均$μ_A$、分散$σ_A^2$の正規母集団と、$x_B$が従う、平均$μ_B$、分散$σ_B^2$の正規母集団の比較を行うとしましょう。

$x_A$が従う分布から$n_A$ことった標本平均$\bar{x_A}$と、$x_B$が従う分布から$n_B$ことった標本平均$\bar{x_B}$は、それぞれ「平均 $μ_A$、分散 $\displaystyle \frac{\sigma_A^2}{n_A}$ の正規分布」と「平均 $μ_B$、分散 $\displaystyle \frac{\sigma_B^2}{n_B}$ の正規分布」ですね。

ここで、帰無仮説は「母平均が同じ」なので「$μ_A$＝$μ_B$」ですよね。

そこで、$\bar{x_A}$ー$\bar{x_B}$ が従う分布を考えましょう。

$\bar{x_A}$ー$\bar{x_B}$ が従う分布の平均は、$μ_A$ー$μ_B$ですよね。

$\overline{x_A}$ー$\overline{x_B}$ が従う分布の分散は、分散の加法性により、$\displaystyle \frac{\sigma_A^2}{n_A}$ + $\displaystyle \frac{\sigma_B^2}{n_B}$ になりますね。

$\bar{x_A}$ー$\overline{x_B}$ が従う分布がわかったら、次は、ここでもやはり、母分散が既知だった場合をまずは考えてみましょう。

「実際の観測値－母平均÷母標準偏差」で、実際の観測値が標準正規分布ではいくつに相当するのかがわかるのでしたよね。

ここで、問題なのが、$μ_A$、$μ_B$、$σ_A$、$σ_B$ が未知なことですよね。

Studentのt検定

まずは、Studentの検定です。

Studentのt検定では、$σ_A^2$ と $σ_B^2$ が等しいと考えるので、$σ_A^2$ の推定値と $σ_B^2$ の推定値をプールした推定値を計算する必要があります。

分子の偏差平方和を足して、分母の自由度も足して、平方和の和÷自由度の和を計算したものがプールされた分散になります。

母分散をプールした分散に置き換えるので、この式で計算されるt値はt分布に従います。

自由度は、分散の推定値の分母の部分にあたるので、プールされた分散の分母である、$n_A$＋$n_B$－2 ですね。

この計算式で計算されるt値が、自由度 $n_A$＋$n_B$－2 の t分布に従う、ということになりますね。

あとは、この計算式に実際の観測値をあてはめてt値を計算し、 それが、自由度 $n_A$＋$n_B$－2 のt分布上でどこに位置するのかをチェックし、それがレアかどうかで、帰無仮説を受容するか棄却するかを判断すれば良いですね。

Welchのt検定

続いて、Welchのt検定です。

Studentのt検定では、$σ_A^2$ と $σ_B^2$ が等しいと考えられる場合だったので、プールした分散を使って計算しましたが、Weltchのt検定は、$σ_A^2$ と $σ_B^2$ が等しいかどうかわからない場合なので、分散のプールはできません。

だから、しょうがなく、$σ_A^2$ と $σ_B^2$ をそれぞれの推定値で置き換えます。

さて、この時、自由度はどうなるのか？という問題がありますよね。

自由度は、この式で求めます。

この式で計算される自由度は、等価自由度と呼ばれます。

あとは、この計算式に実際の観測値をあてはめてt値を計算し、それが、自由度Φ^*のt分布上でどこに位置するのかをチェックし、それがレアかどうかで、帰無仮説を受容するか棄却するかを判断すれば良いですね。

例題

果樹園Aから9このイチゴを無作為にサンプリングして重さを計り、果樹園Bから10このイチゴを無作為にサンプリングして重さを計ったデータを使って、果樹園Aのいちごと果樹園Bのイチゴの重さが同じと言えるかどうか有意水準5％で検定します。

果樹園Aのイチゴの重さが従う分布の母分散と果樹園Bのイチゴの重さが従う分布の母分散は等しいと考えられるとしているので、Studentのt検定を使います。

赤の部分がレアと判断できる領域ということですね。

まとめ

この記事では、対応のない2標本 t 検定の基本的な考え方について整理しました。

• 2標本t検定は、2つの集団の平均の違いを評価するための手法
• 分散が等しいと仮定できる場合は Student、仮定できない場合は Welch を用いる
• 両者で異なるのは、t値を計算する式の分母と自由度
• 検定の進め方は同じ

対応のない2標本t検定って、結局のところ、1標本t検定の発想がそのまま拡張されているだけであるということに気づくと、t値の計算も自由度の計算も自然と腑に落ちますよね！